Решить уравнение \(xy'-2x^2\sqrt{y}=4y\).
Решение
Преобразуем уравнение:
\[y'-4\frac{y}{x}=2x\sqrt{y}\]
Уравнение является уравнением Бернулли (\(n=\dfrac{1}{2}\)). Для решения уравнения Бернулли необходимо обе его части разделить на \(y^n\) и сделать замену \(1/y^{n-1}=z\).
Разделим уравнение на \(\sqrt{y}\):
\[\frac{y'}{\sqrt{y}}-4\frac{\sqrt{y}}{x}=2x\]
При делении могло быть потеряно решение \(y=0\). Очевидно, \(y=0\) является решением.
Произведем замену \(z=\sqrt{y}\):
Так как \(z'=\dfrac{1}{2\sqrt{y}}y' \), то:
\[y'=2\sqrt{y}z'\]
Получаем:
\[2z'-4\frac{z}{x}=2x\]
\[z'-2\frac{z}{x}=x\]
Данное уравнение является линейным дифференциальным уравнением.
Найдем решение однородного уравнения:
\[z'-2\frac{z}{x}=0\]
Разделим переменные:
\[\frac{dz}{z}=2\frac{dx}{x}\]
Переменные разделены. Интегрируем обе части уравнения:
\[\int \frac{dz}{z}=2\int \frac{dx}{x}\]
\[\ln |z|=2\ln |x|+\ln C\]
\[z=Cx^2\]
Таким образом, решение однородного уравнения: \(z=Cx^2\).
Считая постоянную \(C\) функцией от \(x\), подставим решение однородного уравнения в исходное уравнение.
Так как \(z'=C'x^2+2Cx\), то:
\[C'x^2+2Cx-2\frac{Cx^2}{x}=x\]
\[C'x^2=x\]
\[C'=\frac{1}{x}\]
\[C=\ln C_1x\]
Подставим полученную функцию в решение однородного уравнения:
\[z=Cx^2=x^2\ln C_1x \]
Произведем обратную замену. Так как \(z=\sqrt{y}\):
\[\sqrt{y}=x^2\ln C_1x \]
\[y=x^4\ln^2 C_1x \]
Таким образом, решение исходного уравнения:
\[y=x^4\ln^2 C_1x; \ y=0. \]