Решить уравнение \(y^{\prime} x^{3} \sin y=x y^{\prime}-2 y\).
Решение
Уравнение не является линейным относительно переменной \(y\) (и не может быть преобразовано к линейному виду относительно переменной \(y\)). Преобразуем уравнение, считая \(x\) функцией от \(y\).
\[\frac{dy}{dx} x^{3} \sin y=x\frac{dy}{dx}-2 y\]
\[\frac{dy}{dx} x^{3} \sin y=x\frac{dy}{dx}-2 y\]
\[2y=\frac{dy}{dx}(x-x^3\sin y)\]
\[\frac{dx}{dy}=\frac{x-x^3\sin y}{2y}\]
\[x'-\frac{x}{2y}=-\frac{x^3\sin y}{2y}\]
При преобразовании могло быть потеряно решение \(y=0\). Очевидно, \(y=0\) является решением.
Уравнение является уравнением Бернулли (\(n=3\)). Для решения уравнения Бернулли необходимо обе его части разделить на \(x^n\) и сделать замену \(1/x^{n-1}=z\).
Разделим уравнение на \(x^{3}\):
\[\frac{x'}{x^3}-\frac{1}{2yx^2}=-\frac{\sin y}{2y}\]
Произведем замену \(z=1/x^{2}\):
Так как \(z'=-\dfrac{2}{x^3}x'\), то:
\[x'=-\frac{1}{2}z'x^3\]
Получаем:
\[-\frac{1}{2}z'-\dfrac{z}{2y}=-\frac{\sin y}{2y}\]
\[z'+\dfrac{z}{y}=\frac{\sin y}{y}\]
Данное уравнение является линейным дифференциальным уравнением.
Найдем решение однородного уравнения:
\[z'+\dfrac{z}{y}=0\]
Разделим переменные:
\[\frac{dz}{z}=-\frac{dy}{y}\]
Переменные разделены. Интегрируем обе части уравнения:
\[\int\frac{dz}{z}=-\int\frac{dy}{y}\]
\[\ln|z|=-\ln |y|+\ln C\]
\[z=\frac{C}{y}\]
Таким образом, решение однородного уравнения: \(z=\dfrac{C}{y}\).
Считая постоянную \(C\) функцией от \(y\), подставим решение однородного уравнения в исходное уравнение.
Так как \(z'=C'\dfrac{1}{y}-C\dfrac{1}{y^2}\), то:
\[C'\dfrac{1}{y}-C\dfrac{1}{y^2}+\dfrac{C}{y}\dfrac{1}{y}=\frac{\sin y}{y}\]
\[C'\dfrac{1}{y}=\frac{\sin y}{y}\]
\[C'=\sin y\]
\[C=\int\sin y \ dy=-\cos y +C_1\]
Подставим полученную функцию в решение однородного уравнения:
\[z=\dfrac{C}{y}=\dfrac{-\cos y +C_1}{y}\]
Произведем обратную замену. Так как \(z=1/x^{2}\):
\[\frac{1}{x^2}=\dfrac{-\cos y +C_1}{y}\]
\[y=x^2(C_1-\cos y)\]
Таким образом, решение исходного уравнения:
\[y=x^2(C_1-\cos y); \ y=0.\]