Решить уравнение \(\left(2 x^{2} y \ln y-x\right) y^{\prime}=y\).
Решение
Уравнение не является линейным относительно переменной \(y\) (и не может быть преобразовано к линейному виду относительно переменной \(y\)). Преобразуем уравнение, считая \(x\) функцией от \(y\).
\[\left(2 x^{2} y \ln y-x\right) \frac{dy}{dx}=y\]
\[\left(2 x^{2} y \ln y-x\right) =y\frac{dx}{dy}\]
\[\frac{dx}{dy}+\frac{x}{y}=2 x^{2} \ln y \]
\[x'+\frac{x}{y}=2 x^{2} \ln y \]
Уравнение является уравнением Бернулли (\(n=2\)). Для решения уравнения Бернулли необходимо обе его части разделить на \(x^n\) и сделать замену \(1/x^{n-1}=z\).
Разделим уравнение на \(x^{2}\):
\[\frac{x'}{x^2}+\frac{1}{yx}=2 \ln y\]
Произведем замену \(z=1/x\):
Так как \(z'=-\dfrac{1}{x^2}x'\), то:
\[x'=-x^2z'\]
Получаем:
\[-z'+\dfrac{z}{y}=2 \ln y\]
\[z'-\dfrac{z}{y}=-2 \ln y\]
Данное уравнение является линейным дифференциальным уравнением.
Найдем решение однородного уравнения:
\[z'-\dfrac{z}{y}=0\]
Разделим переменные:
\[\frac{dz}{z}=\frac{dy}{y}\]
Переменные разделены. Интегрируем обе части уравнения:
\[\int\frac{dz}{z}=-\int\frac{dy}{y}\]
\[\ln|z|=\ln |y|+\ln C\]
\[z=Cy\]
Таким образом, решение однородного уравнения: \(z=Cy\).
Считая постоянную \(C\) функцией от \(y\), подставим решение однородного уравнения в исходное уравнение.
Так как \(z'=C'y+C\), то:
\[C'y+C-\dfrac{Cy}{y}=-2 \ln y\]
\[C'y=-2 \ln y\]
\[C'=-2\frac{\ln y}{y} \]
\[C=-2\int\frac{\ln y}{y}dy= -2\int\ln y \ d(\ln y)=-\ln^2 y+C_1\]
Подставим полученную функцию в решение однородного уравнения:
\[z=Cy=(-\ln^2 y+C_1)y\]
Произведем обратную замену. Так как \(z=1/x\):
\[\frac{1}{x}=(-\ln^2 y+C_1)y\]
\[(C_1-\ln^2 y)xy=1\]
Таким образом, решение исходного уравнения:
\[(C_1-\ln^2 y)xy=1.\]