Путем подбора найти частное решение, привести данное уравнение Риккати к уравнению Бернулли и решить его: \(3 y^{\prime}+y^{2}+\dfrac{2}{x^{2}}=0\).
Решение
Данное дифференциальное уравнение является уравнением Рикатти. Найдем частное решение.
Ищем частное решение в виде \(y=\dfrac{a}{x}\), где \(a=const\). Подставив его в уравнение, получим:
\[-3\frac{a}{x^2}+\frac{a^2}{x^2}+\dfrac{2}{x^{2}}=0\]
Получаем:
\[a^2-3a+2=0\]
\[a=\frac{3\pm1}{2}\]
\[a_1=2, a_2=1\]
Возьмем \(a=1\), соответственно получаем частное решение:
\[y=\frac{1}{x}\]
Поскольку уже известно одно частное решение, проведем замену:
\[y=\frac{1}{x}+z\]
Найдем производную:
\[y'=z'-\frac{1}{x^2}\]
Подставим в исходное уравнение:
\[3 z'-\frac{3}{x^2}+\left(\frac{1}{x}+z\right)^{2}+\dfrac{2}{x^{2}}=0\]
\[3 z'-\frac{3}{x^2}+\frac{1}{x^2}+\frac{2z}{x}+z^{2}+\dfrac{2}{x^{2}}=0\]
\[3 z'+\frac{2z}{x}+z^{2}=0\]
\[ z'+\frac{2}{3}\frac{z}{x}=-\frac{1}{3}z^{2}\]
Данное дифференциальное уравнение является уравнением Бернулли (\(n=2\)). Для решения уравнения Бернулли необходимо обе его части разделить на \(z^n\) и сделать замену \(1/z^{n-1}=u\).
Разделим уравнение на \(z^{2}\):
\[ \frac{z'}{z^2}+\frac{2}{3}\frac{1}{zx}=-\frac{1}{3}\]
Произведем замену \(u=1/z\):
Так как \(u'=-\dfrac{1}{z^2}z'\), то:
\[-u'+\frac{2}{3}\frac{u}{x}=-\frac{1}{3}\]
Данное уравнение является линейным дифференциальным уравнением.
Найдем решение однородного уравнения:
\[-u'+\frac{2}{3}\frac{u}{x}=0\]
Разделим переменные:
\[\frac{du}{u}=\frac{2}{3}\frac{dx}{x} \]
Переменные разделены. Интегрируем обе части уравнения:
\[\int \frac{du}{u}=\frac{2}{3}\int \frac{dx}{x} \]
\[\ln |u|=\frac{2}{3}\ln|x| +\ln C\]
\[u=Cx^{2/3}\]
Таким образом, решение однородного уравнения: \(u=Cx^{2/3}\).
Считая постоянную \(C\) функцией от \(x\), подставим решение однородного уравнения в исходное уравнение.
Так как \(u'=C'x^{2/3}+\dfrac{2}{3} Cx^{1/3}\), то:
\[-C'x^{2/3}-\dfrac{2}{3} Cx^{1/3}+\frac{2}{3}\frac{Cx^{2/3}}{x}=-\frac{1}{3}\]
\[C'x^{2/3}=\frac{1}{3}\]
\[C'=\frac{1}{3}x^{-2/3}\]
\[C=\frac{1}{3}\int x^{-2/3}=x^{1/3}+C_1\]
Подставим полученную функцию в решение однородного уравнения:
\[u=Cx^{2/3}=(x^{1/3}+C_1)x^{2/3}=x+C_1x^{2/3}\]
Проведем обратные замены. Так как \(u=1/z\) и \(y=\dfrac{1}{x}+z\):
\[\frac{1}{z}=x+C_1x^{2/3}\]
\[z=\frac{1}{x+C_1x^{2/3}}\]
\[y-\frac{1}{x}=\frac{1}{x+C_1x^{2/3}}\]
\[y=\frac{1}{x}+\frac{1}{x+C_1x^{2/3}}\]
Таким образом, решение исходного уравнения:
\[y=\frac{1}{x}+\frac{1}{x+C_1x^{2/3}}.\]