линейные уравнения первого порядка

Путем подбора найти частное решение, привести данное уравнение Риккати к уравнению Бернулли и решить его: $y^{\prime }-2xy+y^2=5-x^2$.

Решение
Данное дифференциальное уравнение является уравнением Рикатти. Найдем частное решение.
Ищем частное решение в виде $y=ax+b$, где $a$ и $b$ постоянные. Подставив его в уравнение, получим:
$$a-2x(ax+b)+(ax+b{)}^2=5-x^2$$
$$a-2a{x}^2-2bx+a^2{x}^2+2abx+b^2=5-x^2$$
$$x^2(a^2-2a)+z(2ab-2b)+a+b^2=5-x^2$$
Приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях $x$:
$$\begin{gathered} a^2-2a=-1 \\ 2ab-2b=0 \\ a+b^2=5 \end{gathered}$$
Из первого уравнения получаем $a=1$. Подставив $a=1$ в третье уравнение, получим $b=2$. Соответственно получаем частное решение: $y=x+2$.

Поскольку уже известно одно частное решение, проведем замену:
$$y=x+2+z$$
Найдем производную:
$$y^{\prime }=1+z^{\prime }$$
Подставим в исходное уравнение:
$$1+z^{\prime }-2x(x+2+z)+(x+2+z{)}^2=5-x^2$$
$$1+z^{\prime }-2x^2-4x-2xz+(x+2{)}^2+2(x+2)z+z^2=5-x^2$$
$$1+z^{\prime }-2x^2-4x-2xz+x^2+4x+4+2xz+4z+z^2=5-x^2$$
$$z^{\prime }+4z+z^2=0$$
$$z^{\prime }+4z=-z^2$$

Данное дифференциальное уравнение является уравнением Бернулли ($n=2$). Для решения уравнения Бернулли необходимо обе его части разделить на $z^n$ и сделать замену $1/z^{n-1}=u$.
Разделим уравнение на $z^2$:
$$\frac{z^{\prime }}{z^2}+\frac{4}{z}=-1$$
Произведем замену $u=1/z$:
Так как $u^{\prime }=-{\displaystyle \frac{1}{z^2}}{z}^{\prime }$, то:
$$-u^{\prime }+4u=-1$$
$$u^{\prime }=4u+1$$
Разделим переменные:
$$\frac{du}{4u+1}=dx$$
Переменные разделены. Интегрируем обе части уравнения:
$$\int \frac{du}{4u+1}=\int dx$$
$$\frac{1}{4}\ln |4u+1|=x+\ln C_1$$
$$u=\frac{C{e}^{4x}-1}{4}$$

Проведем обратные замены. Так как $u=1/z$ и $y=x+2+z$:
$$\frac{1}{z}=\frac{C{e}^{4x}-1}{4}$$
$$z=\frac{4}{C{e}^{4x}-1}$$
$$y-x-2=\frac{4}{C{e}^{4x}-1}$$
$$y=x+2+\frac{4}{C{e}^{4x}-1}$$

Таким образом, решение исходного уравнения:
$$y=x+2+\frac{4}{C{e}^{4x}-1}.$$