изогональные траектории — Страница 2

Составить дифференциальное уравнение траекторий, пересекающих семейство линий под заданным углом: $x^{2} + y^{2} = 2 a x$ , $φ = 45^{o}$ .

Решение
Составим дифференциальное уравнение семейства линий:
$2 x + 2 y y^{'} = 2 a \Rightarrow a = x + y y^{'}$
Подставим $a$ в исходное уравнение:
$x^{2} + y^{2} = 2 (x + y y^{'}) x$
$x^{2} + y^{2} = 2 x^{2} + 2 x y y^{'}$
$y^{2} - x^{2} = 2 x y y^{'}$
$y^{'} = \frac{y^{2} - x^{2}}{2 x y}$
1. Найдем уравнение траекторий для которых где $φ$ отсчитывается от исходной кривой к искомой кривой:
$\frac{y_{1}^{'} - y^{'}}{1 + y^{'} y_{1}^{'}} = \tan φ$
$\frac{y_{1}^{'} - \frac{y^{2} - x^{2}}{2 x y}}{1 + \frac{y^{2} - x^{2}}{2 x y} y_{1}^{'}} = 1$
$\frac{2 x y y_{1}^{'} - y^{2} + x^{2}}{2 x y + (y^{2} - x^{2}) y_{1}^{'}} = 1$
$2 x y y_{1}^{'} - y^{2} + x^{2} = 2 x y + (y^{2} - x^{2}) y_{1}^{'}$
$y_{1}^{'} (2 x y - y^{2} + x^{2}) = y^{2} - x^{2} + 2 x y$
$y_{1}^{'} = \frac{y^{2} - x^{2} + 2 x y}{2 x y - y^{2} + x^{2}}$
2. Найдем уравнение траекторий для которых где $φ$ отсчитывается от искомой кривой к исходной кривой:
$\frac{y^{'} - y_{2}^{'}}{1 + y^{'} y_{2}^{'}} = \tan φ$
$\frac{\frac{y^{2} - x^{2}}{2 x y} - y_{2}^{'}}{1 + \frac{y^{2} - x^{2}}{2 x y} y_{2}^{'}} = 1$
$\frac{y^{2} - x^{2} - 2 x y y_{2}^{'}}{2 x y + (y^{2} - x^{2}) y_{2}^{'}} = 1$
$y^{2} - x^{2} - 2 x y y_{2}^{'} = 2 x y + (y^{2} - x^{2}) y_{2}^{'}$
$y_{2}^{'} (x^{2} - y^{2} - 2 x y) = 2 x y - y^{2} + x^{2}$
$y_{2}^{'} = \frac{2 x y - y^{2} + x^{2}}{x^{2} - y^{2} - 2 x y}$
Таким образом, дифференциальные уравнения траекторий, пересекающих исходное семейство линий под углом $φ = 45^{o}$ имеют вид:
$y^{'} = \frac{y^{2} - x^{2} + 2 x y}{2 x y - y^{2} + x^{2}}; y^{'} = \frac{2 x y - y^{2} + x^{2}}{x^{2} - y^{2} - 2 x y} .$