Найти кривые, у которых площадь трапеции, ограниченной осями координат, касательной и ординатой точки касания, есть величина постоянная, равная \(3a^2\).
Решение
Схематично изобразим трапецию:
\(A\) - точка касания; \(OBAC\) - трапеция ограниченная осями координат, касательной и ординатой точки касания.
Площадь трапеции \(OBAC\):
\[S=\frac{|OB|+|CA|}{2}|OC|\]
Поскольку \(|CA|=y\), а \(|OC|=x\), осталось найти \(|OB|\).
Уравнение касательной в точке \(A\): \(y=y_A+y'_A(x-x_A)\)
Поскольку касательная проходит через точку \(B\), получаем:
\[y_B=y_A+y'_A(x_B-x_A)\]
Соответственно, так как \(x_B=0\) и точка \(A\) имеет координаты \((x,y)\), получаем:
\[|OB|=y_B=y-y'x\]
Таким образом:
\[S=\frac{|OB|+|CA|}{2}|OC|=\frac{y-y'x+y}{2}x=\frac{2y-y'x}{2}x\]
Так как по условию площадь трапеции равна \(3a^2\), получаем уравнение семейства кривых:
\[y'-\frac{2y}{x}=-\frac{6a^2}{x^2}\]
Данное уравнение является линейным дифференциальным уравнением.
Найдем решение однородного уравнения:
\[y'-\frac{2y}{x}=0\]
Разделим переменные:
\[\frac{dy}{y}=2\frac{dx}{x}\]
Переменные разделены. Интегрируем обе части уравнения:
\[\int \frac{dy}{y}=2\int \frac{dx}{x}\]
\[\ln|y|=2\ln|x|+\ln C\]
\[y=Cx^2\]
Таким образом, решение однородного уравнения: \(y=Cx^2\).
Считая постоянную \(C\) функцией от \(x\), подставим решение однородного уравнения в исходное уравнение.
Так как \(y'=C'x^2+ 2Cx\), то:
\[C'x^2+ 2Cx-\frac{2Cx^2}{x}=-\frac{6a^2}{x^2}\]
\[C'x^2=-\frac{6a^2}{x^2}\]
\[C'=-\frac{6a^2}{x^4}\]
\[C=-\int \frac{6a^2}{x^4} dx=\frac{6a^2}{3x^3}+C_1\]
Подставим полученную функцию в решение однородного уравнения:
\[y=Cx^2=\left(\frac{6a^2}{3x^3}+C_1\right)x^2=\frac{2a^2}{x}+C_1x^2\]
Таким образом, уравнение семейства кривых, у которых площадь трапеции, ограниченной осями координат, касательной и ординатой точки касания, есть величина постоянная, равная \(3a^2\):
\[y=\frac{2a^2}{x}+C_1x^2.\]