геометрические и физические задачи — Страница 5

За время $Δ t$ (где $Δ t$ очень мало и выражено в долях года) из каждого грамма радия распадается 0,00044 $Δ t$ грамма и образуется 0,00043 $Δ t$ грамма радона. Из каждого грамма радона за время $Δ t$ распадается 70 $Δ t$ грамма. В начале опыта имелось некоторое количество $x_{0}$ чистого радия. Когда количество образовавшегося и еще не распавшегося радона будет наибольшим?

Решение
Пусть $x (t)$ - количество радия в момент времени $t$ .
За время $Δ t$ из каждого грамма радия распадается 0,00044 $Δ t$ грамма, соответственно за время $Δ t$ количество радия уменьшится на $Δ t \cdot 0, 00044 \cdot x (t)$ . Таким образом:
$x (t + Δ t) - x (t) = - Δ t \cdot 0, 00044 \cdot x (t)$

Поделив обе части уравнения на $Δ t$ и перейдя к пределу при $Δ t \to 0$ получим дифференциальное уравнение:
$x^{'} = - 0, 00044 x$
Разделим переменные:
$\frac{d x}{x} = 0, 00044 d t$
Переменные разделены. Интегрируем обе части уравнения:
$\int \frac{d x}{x} = - \int 0, 00044 d t$
$\ln | x | = - 0, 00044 t + \ln C$
$x = C e^{- 0, 00044 t}$
В момент времени $t = 0$ было $x_{0}$ чистого радия, следовательно $x (0) = x_{0}$ . Получаем $C = x_{0}$ .
Таким образом, количество радия изменяется со временем по закону:
$x = x_{0} e^{- 0, 00044 t}$

Пусть $y (t)$ - количество радона в момент времени $t$ .
За время $Δ t$ из каждого грамма радия образуется 0,00043 $Δ t$ грамма радона и из каждого грамма радона за время $Δ t$ распадается 70 $Δ t$ грамма радона. Таким образом:
$y (t + Δ t) - y (t) = 0, 00043 \cdot Δ t \cdot x (t) - 70 \cdot Δ t \cdot y (t)$
Поделив обе части уравнения на $Δ t$ и перейдя к пределу при $Δ t \to 0$ , и подставив $x (t)$ получим дифференциальное уравнение:
$y^{'} = 0, 00043 x_{0} e^{- 0, 00044 t} - 70 y$
$y^{'} + 70 y = 0, 00043 x_{0} e^{- 0, 00044 t}$

Данное уравнение является линейным дифференциальным уравнением.
Найдем решение однородного уравнения:
$y^{'} + 70 y = 0$
Разделим переменные:
$\frac{d y}{y} = - 70 d t$
Переменные разделены. Интегрируем обе части уравнения:
$\int \frac{d y}{y} = - 70 \int d t$
$\ln | y | = - 70 t + \ln C$
$y = C e^{- 70 t}$
Таким образом, решение однородного уравнения: $y = C e^{- 70 t}$ .

Считая постоянную $C$ функцией от $t$ , подставим решение однородного уравнения в исходное уравнение.
Так как $y^{'} = C^{'} e^{- 70 t} - 70 C e^{- 70 t}$ , то:
$C^{'} e^{- 70 t} - 70 C e^{- 70 t} + 70 C e^{- 70 t} = 0, 00043 x_{0} e^{- 0, 00044 t}$
$C^{'} e^{- 70 t} = 0, 00043 x_{0} e^{- 0, 00044 t}$
$C^{'} = 0, 00043 x_{0} e^{(70 - 0, 00044) t}$
$C = \int 0, 00043 x_{0} e^{(70 - 0, 00044) t} d t$
$C = \frac{0, 00043 x_{0}}{70 - 0, 00044} e^{(70 - 0, 00044) t} + C_{1}$

Подставим полученную функцию в решение однородного уравнения:
$y = C e^{- 70 t} = (\frac{0, 00043 x_{0}}{70 - 0, 00044} e^{(70 - 0, 00044) t} + C_{1}) e^{- 70 t}$
$y = \frac{0, 00043 x_{0}}{70 - 0, 00044} e^{- 0, 00044 t} + C_{1} e^{- 70 t}$

В момент времени $t = 0$ был только чистый радий и не было радона, следовательно $y (0) = 0$ . Получаем:
$0 = \frac{0, 00043 x_{0}}{70 - 0, 00044} + C_{1}$
$C_{1} = - \frac{0, 00043 x_{0}}{70 - 0, 00044}$

Таким образом, количество радона изменяется со временем по закону:
$y = \frac{0, 00043 x_{0}}{70 - 0, 00044} (e^{- 0, 00044 t} - e^{- 70 t})$

Чтобы найти наибольшее количество образовавшегося и еще не распавшегося радона, найдем производную $y^{'}$ :
$y^{'} = \frac{0, 00043 x_{0}}{70 - 0, 00044} (- 0, 00044 e^{- 0, 00044 t} + 70 e^{- 70 t})$

Приравняв производную к нулю, получим:
$- 0, 00044 e^{- 0, 00044 t} + 70 e^{- 70 t} = 0$
$e^{(70 - 0, 00044) t} = \frac{70}{0, 00044}$
$t = \frac{\ln 70 - \ln (0, 00044)}{70 - 0, 00044} \approx 0, 171 г о д а \approx 62, 45 д н я$

Таким образом, количество образовавшегося и еще не распавшегося радона будет наибольшим через 62,45 дня.