геометрические и физические задачи — Страница 17

Количество света, поглощаемое слоем воды малой толщины, пропорционально количеству падающего на него света и толщине слоя. Слой воды толщиной 35 см поглощает половину падающего на него света. Какую часть света поглотит слой толщиной в 2 м?

Решение
Пусть $x$ - толщина слоя воды, $y (x)$ - количество света проходящего через слой воды толщины $x$ .
Тогда количество света поглощаемое слоем воды на участке $Δ x$ : $y (x + Δ x) - y (x)$ . Поскольку количество света, поглощаемое слоем воды, пропорционально количеству падающего света и толщине слоя:
$y (x + Δ x) - y (x) = k y (x) Δ x .$
Перейдя к пределу при $Δ x \to 0$ , получим дифференциальное уравнение:
$y^{'} = k y .$
Это уравнение является уравнением с разделяющимися переменными. Разделяя переменные и интегрируя получим общее решение:
$y = C e^{k x},$
где $y (0) = C$ - количество падающего на слой света.
Учитывая что слой воды толщиной 35 см поглощает половину падающего на него света, получим:
$\frac{C}{2} = C e^{35 k} \Rightarrow k = - \frac{\ln 2}{35} .$
Чтобы найти, какую часть света поглотит слой толщиной в 2 м (200 см), подставим $x = 200$ .
$y (200) = C e^{- (200 \cdot \ln 2) / 35} \approx C \cdot 0.02$
Учитывая что $C$ это начальное количество света падающего на слой воды, получаем, что слой толщиной в 2 метра поглощает $98 %$ воды.