геометрические и физические задачи

Найти атмосферное давление на высоте $h$ , если на поверхности земли давление равно $1 к Г / с м^{2}$ и плотность воздуха $0, 0012 г / с м^{3}$ . Использовать закон Бойля—Мариотта, в силу которого плотность пропорциональна давлению (т. е. пренебречь изменением температуры воздуха с высотой).

Решение
Для начала разберемся с единицами измерения. В условии давление задано в $к Г / с м^{2},$ где кГ — это килограмм-сила. Килограмм-сила равна силе, сообщающей телу массой один килограмм ускорение равное нормальному ускорению свободного падения $9, 80665 м / с^{2} .$
Так как ускорение свободного падения $g = 9, 8 м / c^{2}$ уже учтено в единицах измерения, то далее можно его можно не учитывать, или учитывать и считать равным единице:
$g = 9, 8 м / c^{2} = 1 \frac{Г}{г}$
Так как плотность пропорциональна давлению, то есть $ρ = k p$ , то:
$0, 0012 г / с м^{3} = k 1000 Г / с м^{2}$
где $k$ - коэффициент пропорциональности.
Получаем: $k = 0, 0000012$ .

Перейдем к решению задачи. Пусть $p (x)$ это атмосферное давление на высоте $x .$ Тогда разность давлений $p (x) - p (x + Δ x)$ равна весу столбика воздуха с площадью основания $1 с м^{2}$ и высотой $Δ x .$
$p (x) - p (x + Δ x) = g ρ (x) Δ x,$
где $ρ (x)$ - плотность воздуха на высоте $x,$ $g$ - ускорение свободного падения.
Так как плотность пропорциональна давлению, то:
$p (x) - p (x + Δ x) = k g p (x) Δ x,$
где $k$ - коэффициент пропорциональности.
Предельным переходом при $Δ x \to 0$ , получаем дифференциальное уравнение:
$\frac{d p}{d x} = - k g p$
Или:
$\frac{1}{p} d p = - k g d x$
Интегрируя, получим:
$p = C e^{- k g x}$
Так как из начальных условий, на поверхности земли при $x = 0$ давление $p = 1 к Г / с м^{2}$ , то $C = 1$ . Получаем:
$p = e^{- k g x}$
Подставив значение коэффициента $k$ получим:
$p = e^{- 0, 0000012 x}$
Таким образом, атмосферное давление на высоте $h с м$ равно:
$p = e^{- 0, 0000012 h}$
На высоте $h м$ :
$p = e^{- 0, 00012 h}$
На высоте $h к м$ :
$p = e^{- 0, 12 h} к Г / с м^{2}$