Филиппов

В прямоугольный бак размером $60см$ x $75см$ и высотой $80см$ поступает $1,8л$ воды в секунду. В дне имеется отверстие площадью $2,5с{м}^2.$ За какое время наполнится бак? Сравнить результат с временем наполнения такого бака без отверстия в дне. Жидкость из сосуда вытекает со скоростью, равной $0,6\sqrt{2gh}$, где $g=10м/се{к}^2$ — ускорение силы тяжести, $h$ — высота уровня воды над отверстием.

Решение
Пусть $h(t)$ - высота уровня воды в баке над отверстием в момент времени $t$. Через промежуток времени $\mathrm{\Delta }t$ уровень воды изменится до $h(t+\mathrm{\Delta }t)$.

Изменение объема воды в баке за время $\mathrm{\Delta }t$:
$$\mathrm{\Delta }V=\mathrm{\Delta }h\cdot 60\cdot 75,$$
где $\mathrm{\Delta }h=h(t+\mathrm{\Delta }h)-h(t).$
Изменение объема происходит за счет поступления воды $\mathrm{\Delta }{V}_1$ и утечки через отверстие $\mathrm{\Delta }{V}_2$.
Так как поступает $1,8л$ воды в секунду (или $1800с{м}^3$ воды в секунду), то:
$$\mathrm{\Delta }{V}_1=1800\mathrm{\Delta }t.$$
Объем вытекающей воды:
$$\mathrm{\Delta }{V}_2=2,5\cdot 0,6\sqrt{2gh(t)}\mathrm{\Delta }t.$$
Так как $\mathrm{\Delta }V=\mathrm{\Delta }{V}_1-\mathrm{\Delta }{V}_2,$ то:
$$\mathrm{\Delta }h\cdot 60\cdot 75=1800\mathrm{\Delta }t-2,5\cdot 0,6\sqrt{2gh(t)}\mathrm{\Delta }t$$
Разделив на $\mathrm{\Delta }t$, совершив предельный переход при $\mathrm{\Delta }t\to 0$ и подставив $g=10м/се{к}^2=1000см/се{к}^2,$ получим:
$$4500\frac{dh}{dt}=1800-1,5\sqrt{2gh}$$
Это уравнение с разделяющимися переменными. Разделим переменные:
$$\frac{1}{1800-1,5\sqrt{2gh}}dh=\frac{1}{4500}dt$$
Или:
$$\frac{1}{1200-\sqrt{2gh}}dh=\frac{1}{3000}dt$$
Интегрируем:
$$\int \frac{1}{1200-\sqrt{2gh}}dh=\int \frac{1}{3000}dt$$
Рассмотрим левый интеграл:
$$\int \frac{1}{1200-\sqrt{2gh}}dh=\frac{2}{\sqrt{2g}}\int \frac{\sqrt{h}}{1200-\sqrt{2gh}}d(\sqrt{2gh})=$$
$$=\frac{2}{(\sqrt{2g}{)}^2}\int \frac{\sqrt{2gh}}{1200-\sqrt{2gh}}d(\sqrt{2gh})=$$
$$=\frac{2}{(\sqrt{2g}{)}^2}\int \frac{\sqrt{2gh}+1200-1200}{1200-\sqrt{2gh}}d(\sqrt{2gh})=$$
$$=-\frac{2}{(\sqrt{2g}{)}^2}\int d(\sqrt{2gh})-1200\frac{2}{(\sqrt{2g}{)}^2}\int \frac{1}{1200-\sqrt{2gh}}d(\sqrt{2gh})=$$
$$=-\frac{2\sqrt{h}}{\sqrt{2g}}-\frac{1200}{g}\ln (1200-\sqrt{2gh})+C$$
Получаем решение:
$$\frac{t}{3000}=-\frac{2\sqrt{h}}{\sqrt{2g}}-\frac{1200}{g}\ln (1200-\sqrt{2gh})+C$$
Так как в момент времени $t=0$ бак пустой, то $h(0)=0.$ Получаем $C=1,2\ln 1200$.
Чтобы найти время, за которое наполнится бак, подставим в уравнение $h=80$:
$$\frac{t}{3000}=-\frac{2\sqrt{80}}{\sqrt{2000}}-1,2\ln (800)+1,2\ln 1200$$
$$\frac{t}{3000}\approx 0.0865$$
$$t\approx 259.6743891$$
Получаем, бак заполнится за 260 секунд.
В случае, если отверстие в дне отсутствует, то $\mathrm{\Delta }V=\mathrm{\Delta }{V}_1,$ и уравнение принимает вид:
$$4500\frac{dh}{dt}=1800$$
Решение уравнения:
$$2,5h=t+C$$
Так как в момент времени $t=0$ бак пустой, то $h(0)=0.$ Получаем $C=0$.
Чтобы найти время, за которое наполнится бак, подставим в уравнение $h=80$: $t=2,5\cdot 80=200$.
Получаем, без отверстия в дне, бак заполнится за 200 секунд.