Решить уравнение, найдя каким-либо способом интегрирующий множитель или сделав замену переменных: \((2x^3y^2-y) \ dx+(2x^2y^3-x) \ dy=0\).
Решение
Преобразуем уравнение:
\[2x^2y^2(x \ dx+y \ dy)-(y \ dx+x \ dy)=0\]
\[x^2y^2d(x^2+y^2)-d(xy)=0\]
Произведем замену \(u=x^2+y^2; \ v=xy\):
\[v^2du-dv=0\]
Это уравнение является уравнением с разделяющимися переменными. Разделив переменные и интегрируя, получим:
\[du=\frac{1}{v^2}dv\]
\[\int du=\int \frac{1}{v^2}dv\]
\[u=-\frac{1}{v}+C\]
При делении могло быть потеряно решение \(u=0\) (\(x=0\) и \(y=0\)). Очевидно, \(x=0\) и \(y=0\) являются решениями.
Произведем обратную замену \(u=x^2+y^2; \ v=xy\):
\[x^2+y^2=-\frac{1}{xy}+C\]
\[xy(x^2+y^2-C)=-1\]
Таким образом, решение исходного уравнения:
\[xy(x^2+y^2-C)=-1; \ x=0; \ y=0.\]