Составить дифференциальное уравнение траекторий, пересекающих семейство линий под заданным углом: \(x^2+y^2=2ax\), \(\varphi=45^o\).
Решение
Составим дифференциальное уравнение семейства линий:
\[2x+2yy'=2a \ \Rightarrow \ a=x+yy' \]
Подставим \(a\) в исходное уравнение:
\[x^2+y^2=2(x+yy')x\]
\[x^2+y^2=2x^2+2xyy'\]
\[y^2-x^2=2xyy'\]
\[y'=\frac{y^2-x^2}{2xy} \]
1. Найдем уравнение траекторий для которых где \(\varphi\) отсчитывается от исходной кривой к искомой кривой:
\[\frac{y_1'-y'}{1+y'y_1'}=\tan \varphi\]
\[\frac{y_1'-\dfrac{y^2-x^2}{2xy}}{1+\dfrac{y^2-x^2}{2xy}y_1'}=1\]
\[\frac{2xyy_1'-y^2+x^2}{2xy+(y^2-x^2)y_1'}=1\]
\[2xyy_1'-y^2+x^2=2xy+(y^2-x^2)y_1'\]
\[y_1'(2xy-y^2+x^2)=y^2-x^2+2xy\]
\[y_1'=\frac{y^2-x^2+2xy}{2xy-y^2+x^2} \]
2. Найдем уравнение траекторий для которых где \(\varphi\) отсчитывается от искомой кривой к исходной кривой:
\[\frac{y'-y_2'}{1+y'y_2'}=\tan \varphi\]
\[\frac{\dfrac{y^2-x^2}{2xy}-y_2'}{1+\dfrac{y^2-x^2}{2xy}y_2'}=1\]
\[\frac{y^2-x^2-2xyy_2'}{2xy+(y^2-x^2)y_2'}=1\]
\[y^2-x^2-2xyy_2'=2xy+(y^2-x^2)y_2'\]
\[y_2'(x^2-y^2-2xy)=2xy-y^2+x^2\]
\[y_2'=\frac{2xy-y^2+x^2}{x^2-y^2-2xy} \]
Таким образом, дифференциальные уравнения траекторий, пересекающих исходное семейство линий под углом \(\varphi=45^o\) имеют вид:
\[y'=\frac{y^2-x^2+2xy}{2xy-y^2+x^2}; \ y'=\frac{2xy-y^2+x^2}{x^2-y^2-2xy}.\]