Составить дифференциальное уравнение траекторий, пересекающих семейство линий под заданным углом: \(3x^2+y^2=C\), \(\varphi=30^o\).
Решение
Составим дифференциальное уравнение семейства линий:
\[6x+2yy'=0 \ \Rightarrow \ y'=-\frac{3x}{y}\]
1. Найдем уравнение траекторий для которых где \(\varphi\) отсчитывается от исходной кривой к искомой кривой:
\[\frac{y_1'-y'}{1+y'y_1'}=\tan \varphi\]
\[\frac{y_1'+\dfrac{3x}{y}}{1-\dfrac{3x}{y}y_1'}=\frac{\sqrt{3}}{3}\]
\[3(yy_1'+3x)=\sqrt{3}(y-3xy_1')\]
\[3y_1'(y+x\sqrt{3})=\sqrt{3}y-9x\]
\[y_1'=\frac{\sqrt{3}y-9x}{3(y+x\sqrt{3})} \]
2. Найдем уравнение траекторий для которых где \(\varphi\) отсчитывается от искомой кривой к исходной кривой:
\[\frac{y'-y_2'}{1+y'y_2'}=\tan \varphi\]
\[\frac{-\dfrac{3x}{y}-y_2'}{1-\dfrac{3x}{y}y_2'}=\frac{\sqrt{3}}{3}\]
\[3(-3x -yy_2') =\sqrt{3}(y-3xy_2')\]
\[3y_2'(\sqrt{3}x -y) =\sqrt{3}y+9x\]
\[y_2' =\frac{\sqrt{3}y+9x}{3(\sqrt{3}x -y)} \]
Таким образом, дифференциальные уравнения траекторий, пересекающих исходное семейство линий под углом \(\varphi=30^o\) имеют вид:
\[y'=\frac{\sqrt{3}y-9x}{3(y+x\sqrt{3})}; \ y' =\frac{\sqrt{3}y+9x}{3(\sqrt{3}x -y)}.\]