Дифуры

Найти систему дифференциальных уравнений для семейства линий $ax+z=b$, $y^2+z^2=b^2$.

Решение
Продифференцируем уравнения семейства линий по $x$, считая что $y=y(x)$ и $z=z(x)$ являются функциями от $x$.
$$a+z^{\prime }=0$$
$$2y{y}^{\prime }+2z{z}^{\prime }=0\Rightarrow y{y}^{\prime }+z{z}^{\prime }=0$$
Получаем, одно из уравнений: $y{y}^{\prime }+z{z}^{\prime }=0$. Чтобы найти второе, выразим $a$ и подставим его в первое уравнение семейства линий.
$$a=-z^{\prime }$$
Тогда:
$$-z^{\prime }x+z=b$$
Отсюда:
$$b=z-z^{\prime }x$$
Подставим b во второе уравнение семейства линий $y^2+z^2=b^2$:
$$y^2+z^2=(z-z^{\prime }x{)}^2$$
$$y^2+z^2=z^2-2z{z}^{\prime }x+z^{\prime 2}{x}^2$$
$$y^2+2z{z}^{\prime }x-z^{\prime 2}{x}^2=0$$
Таким образом, система дифференциальных уравнений имеет вид:
$$y{y}^{\prime }+z{z}^{\prime }=0;y^2+2z{z}^{\prime }x-z^{\prime 2}{x}^2=0.$$