Дифуры

Для начала, вспомним что такое модуль (абсолютная величина) от $x$. Модуль есть непрерывная кусочно-линейная функция, определённая следующим образом:
$$\left|x\right|=\{\begin{array}{ll}x,& x⩾0\\ -x,& x<0\end{array}.$$

Модуль можно определить через функцию корня:
$$|x|=\sqrt{x^2}.$$
Используя такое определение достаточно легко найти производную модуля (продифференцировав $\sqrt{x^2}$ по $x$, используя правило дифференцирования сложной функции):
$$\frac{d}{dx}|x|=\frac{d}{dx}\sqrt{x^2}=\frac{1}{2\sqrt{x^2}}\cdot 2x=\frac{x}{\sqrt{x^2}}=\frac{x}{|x|},гдеx\ne 0.$$

Или можно воспользоваться первым определением модуля и найти производную через ее определение.
$$|x{|}^{\prime }=\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{lim}\frac{|x+\mathrm{\Delta }x|-|x|}{\mathrm{\Delta }x}.$$
Если $x>0$, то:
$$\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{lim}\frac{|x+\mathrm{\Delta }x|-|x|}{\mathrm{\Delta }x}=\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{lim}\frac{x+\mathrm{\Delta }x-x}{\mathrm{\Delta }x}=1.$$
Если $x<0$, то:
$$\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{lim}\frac{|x+\mathrm{\Delta }x|-|x|}{\mathrm{\Delta }x}=\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{lim}\frac{-(x+\mathrm{\Delta }x)-(-x)}{\mathrm{\Delta }x}=-1.$$
Если x=0, то предел:
$$\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{lim}\frac{|0+\mathrm{\Delta }x|-|0|}{\mathrm{\Delta }x}$$
не существует, так как левый (-1) и правый (1) пределы не равны.

Получаем:
$$|x{|}^{\prime }=\{\begin{array}{ll}1& x>0\\ -1& x<0.\end{array}$$

Если рассматривать график модуля, то видно, что в точке $x=0$ невозможно провести касательную, это и означает, что в точке $x=0$ производная модуля не существует: