Изогональные траектории

Линию, пересекающую под определенным углом $\phi \ne {90}^o$ каждую из кривых данного однопараметрического семейства $\mathrm{\Phi }(x,y,C)=0$ (дифференциальное уравнение данного семейства кривых имеет вид $F(x,y,y^{\prime })=0$), называют изогональной траекторией этого семейства. Изогональные траектории данного семейства кривых образуют новое семейство линий.

В случае ортогональных траекторий, имеется всего одно семейство кривых. Но если $\phi \ne {90}^o$, то можно построить два семейства кривых, в зависимости от того, как отсчитывать угол $\phi$ (от исходной кривой к изогональной или наоборот).

Изогональные траектории находятся аналогично ортогональным, но в случае изогональных траекторий производные связаны следующим образом:
$$\frac{y_{изог}^{\prime }-y^{\prime }}{1+y^{\prime }{y}_{изог}^{\prime }}=\tan \phi ,$$
где $\phi$ отсчитывается от исходной кривой к изогональной кривой.
$$\frac{y^{\prime }-y_{изог}^{\prime }}{1+y^{\prime }{y}_{изог}^{\prime }}=\tan \phi ,$$где $\phi$ отсчитывается от изогональной кривой к исходной кривой.

Эти соотношения можно объединить в одно:
$$y_{изог}^{\prime }=\frac{y^{\prime }\pm \tan \phi }{1\mp y^{\prime }\tan \phi }$$
Соответственно уравнение изогональных траекторий будет иметь вид:
$$F(x,y,{\displaystyle \frac{y^{\prime }\pm \tan \phi }{1\mp y^{\prime }\tan \phi }})=0.$$
Итак, чтобы найти уравнение семейства изогональных траекторий для данного однопараметрического семейства плоских кривых, нужно:
1) написать дифференциальное уравнение данного семейства кривых;
2) заменить в этом уравнении $y^{\prime }$ на ${\displaystyle \frac{y^{\prime }\pm \tan \phi }{1\mp y^{\prime }\tan \phi }}$;
3) найти общее решение получившегося дифференциального уравнения.

При решении задач на нахождение изогональных траекторий обычно пользуются формулами для каждого отдельного семейства изогональных траекторий, или находят только одно уравнение:
$$F(x,y,{\displaystyle \frac{y^{\prime }-\tan \phi }{1+y^{\prime }\tan \phi }})=0.$$

Пример. Составить дифференциальное уравнение изогональных траекторий, пересекающих семейство линий $x^2+y^2=a^2$ под углом $\phi ={45}^o$.
1. Найдем уравнение траекторий для которых где $\phi$ отсчитывается от исходной кривой к искомой кривой:
$$\frac{y_1^{\prime }-y^{\prime }}{1+y^{\prime }{y}_1^{\prime }}=\tan \phi$$
$$\frac{y_1^{\prime }+{\displaystyle \frac{x}{y}}}{1-{\displaystyle \frac{x}{y}}{y}_1^{\prime }}=1$$
Упрощая, получим:
$$y_1^{\prime }=\frac{y-x}{y+x}$$
2. Найдем уравнение траекторий для которых где $\phi$ отсчитывается от искомой кривой к исходной кривой:
$$\frac{y^{\prime }-y_2^{\prime }}{1+y^{\prime }{y}_2^{\prime }}=\tan \phi$$
$$\frac{-{\displaystyle \frac{x}{y}}-y_2^{\prime }}{1-{\displaystyle \frac{x}{y}}{y}_2^{\prime }}=1$$
Упрощая, получим:

$$y_2^{\prime }=\frac{y+x}{x-y}$$
Таким образом, дифференциальные уравнения изогональных траекторий, пересекающих исходное семейство линий под углом $\phi ={45}^o$ имеют вид:
$$y^{\prime }=\frac{y-x}{y+x};y^{\prime }=\frac{y+x}{x-y}.$$
Результат построения семейства кривых и двух семейств изогональных траекторий: