Задачи

Составить дифференциальное уравнение семейства линий $(x-a{)}^2+b{y}^2=1$.

Решение
Уравнение имеет два параметра, продифференцируем его дважды:
$$2(x-a)+2by{y}^{\prime }=0\Rightarrow x-a+by{y}^{\prime }=0$$
$$2+2b(y^{\prime 2}+y{y}^{″})=0\Rightarrow 1+b(y^{\prime 2}+y{y}^{″})=0$$
Выразим $b$ из второго уравнения:
$$b=-\frac{1}{y^{\prime 2}+y{y}^{″}}$$
Подставим $b$ в первое уравнение и выразим $a$:
$$x-a+by{y}^{\prime }=0$$
$$x-a-\frac{1}{y^{\prime 2}+y{y}^{″}}y{y}^{\prime }=0$$
$$a=x-\frac{1}{y^{\prime 2}+y{y}^{″}}y{y}^{\prime }$$
Подставим $a$ и $b$ в исходное уравнение $(x-a{)}^2+b{y}^2=1$:
$$(x-x+\frac{1}{y^{\prime 2}+y{y}^{″}}y{y}^{\prime }{)}^2-\frac{1}{y^{\prime 2}+y{y}^{″}}{y}^2=1$$
$$(\frac{y{y}^{\prime }}{y^{\prime 2}+y{y}^{″}}{)}^2-\frac{y^2}{y^{\prime 2}+y{y}^{″}}=1$$
$$(y{y}^{\prime }{)}^2-y^2(y^{\prime 2}+y{y}^{″})=(y^{\prime 2}+y{y}^{″}{)}^2$$
$$-y^3{y}^{″}=(y^{\prime 2}+y{y}^{″}{)}^2$$
Таким образом, дифференциальное уравнение семейства линий имеет вид: $-y^3{y}^{″}=(y^{\prime 2}+y{y}^{″}{)}^2$.