Задача 217. Филиппов А.Ф. Сборник задач по дифференциальным уравнениям

Решить уравнение, найдя каким-либо способом интегрирующий множитель или сделав замену переменных: $(2x^3{y}^2-y)dx+(2x^2{y}^3-x)dy=0$.

Решение
Преобразуем уравнение:
$$2x^2{y}^2(xdx+ydy)-(ydx+xdy)=0$$
$$x^2{y}^{2}d(x^2+y^2)-d(xy)=0$$
Произведем замену $u=x^2+y^2;v=xy$:
$$v^{2}du-dv=0$$

Это уравнение является уравнением с разделяющимися переменными. Разделив переменные и интегрируя, получим:
$$du=\frac{1}{v^2}dv$$
$$\int du=\int \frac{1}{v^2}dv$$
$$u=-\frac{1}{v}+C$$

При делении могло быть потеряно решение $u=0$ ($x=0$ и $y=0$). Очевидно, $x=0$ и $y=0$ являются решениями.

Произведем обратную замену $u=x^2+y^2;v=xy$:
$$x^2+y^2=-\frac{1}{xy}+C$$
$$xy(x^2+y^2-C)=-1$$

Таким образом, решение исходного уравнения:
$$xy(x^2+y^2-C)=-1;x=0;y=0.$$