Задача 212. Филиппов А.Ф. Сборник задач по дифференциальным уравнениям

Решить уравнение, найдя каким-либо способом интегрирующий множитель или сделав замену переменных: $(2x^2{y}^3-1)ydx+(4x^2{y}^3-1)xdy=0$.

Решение
Запишем уравнение в виде:
$$2x^2{y}^{4}dx+4x^3{y}^{3}dy-(ydx+xdy)=0$$
$$2x^2{y}^2(y^{2}dx+2xydy)-(ydx+xdy)=0$$
Так как $d(x{y}^2)=y^{2}dx+2xydy$, получаем:
$$2x^2{y}^{2}d(x{y}^2)-d(xy)=0$$
Произведем замену $u=x{y}^2;v=xy$:
$$2v^{2}du-dv=0$$

Это уравнение является уравнением с разделяющимися переменными. Разделив переменные и интегрируя, получим:
$$2v^{2}du=dv$$
$$2du=\frac{1}{v^2}dv$$
$$2\int du=\int \frac{1}{v^2}dv$$
$$2u=-\frac{1}{v}+C$$
При делении могли быть потеряны решения $x=0$ и $y=0$. Очевидно, $x=0$ и $y=0$ являются решениями.

Произведем обратную замену $u=x{y}^2;v=xy$:
$$2x{y}^2=-\frac{1}{xy}+C$$
Таким образом, решение исходного уравнения:
$$2x{y}^2+\frac{1}{xy}=C;x=0;y=0.$$