Задача 199. Филиппов А.Ф. Сборник задач по дифференциальным уравнениям

Решить уравнение, найдя каким-либо способом интегрирующий множитель или сделав замену переменных: $y^{2}dx-(xy+x^3)dy$.

Решение
Запишем уравнение в виде:
$$y(ydx-xdy)-x^{3}dy=0$$
Разделив на $y^3$ ($y=0$ не является решением), получим:
$$\frac{ydx-xdy}{y^2}-\frac{x^3}{y^3}dy=0$$
$$d\left(\frac{x}{y}\right)-\frac{x^3}{y^3}dy=0$$
Произведем замену $u={\displaystyle \frac{x}{y}}$:
$$du-u^{3}dy=0$$
Это уравнение является уравнением с разделяющимися переменными. Разделив переменные и интегрируя, получим:
$$\frac{1}{u^3}du=dy$$
$$\int \frac{1}{u^3}du=\int dy$$
$$-\frac{1}{2u^2}+C=y$$
$$\frac{1}{u^2}=2(C-y)$$
При делении могло быть потеряно решение $u=0(x=0)$. Очевидно, $x=0$ является решением.
Произведем обратную замену $u={\displaystyle \frac{x}{y}}$:
$$\frac{y^2}{x^2}=2(C-y)$$
Таким образом, решение исходного уравнения:
$$y^2=2(C-y)x^2;x=0.$$