Пусть в уравнении \(xy’ + ay = f(x)\) имеем \(a = const \gt 0\), \(f(x)\to b\) при \(x\to 0\). Показать, что только одно решение уравнения остается ограниченным при \(x\to 0\), и найти предел этого решения при \(x\to 0\).
Решение
Преобразуем уравнение:
\[y’ + \frac{a}{x}y = \frac{f(x)}{x}\]
Найдем решение однородного уравнения:
\[y’ + \frac{a}{x}y =0\]
Разделим переменные:
\[\frac{dy}{y}=-a\frac{dx}{x} \]
Переменные разделены. Интегрируем обе части уравнения:
\[\ln|y|=-a\ln|x|+\ln C\]
\[y=\frac{C}{x^a}\]
Таким образом, решение однородного уравнения: \(y=\dfrac{C}{x^a}\).
Считая постоянную \(C\) функцией от \(x\), подставим решение однородного уравнения в исходное уравнение.
Так как \(y'=\dfrac{C'}{x^a}-aC\dfrac{1}{x^{a+1}}\), то:
\[\dfrac{C'}{x^a}-aC\dfrac{1}{x^{a+1}} + \frac{a}{x}\dfrac{C}{x^a} = \frac{f(x)}{x}\]
\[\dfrac{C'}{x^a}= \frac{f(x)}{x}\]
\[C'= x^{a-1}f(x)\]
\[C=\int\limits_0^x t^{a-1}f(t)dt+C_1\]
Подставим полученную функцию в решение однородного уравнения:
\[y=\dfrac{C}{x^a}=\left(\int\limits_0^x t^{a-1}f(t)dt+C_1\right)\dfrac{1}{x^a}\]
Таким образом, общее решение исходного уравнения:
\[y=\dfrac{C_1}{x^a}+ \dfrac{1}{x^a}\int\limits_0^x t^{a-1}f(t)dt\]
Представим \(f(x)\) как \(f(x)=b+g(x)\), соответственно так как \(f(x)\to b\), то \(g(x)\to 0\) при \(x\to 0\). Получаем:
\[y=\dfrac{C_1}{x^a}+ \dfrac{1}{x^a}\int\limits_0^x (b+g(t))t^{a-1}dt=\dfrac{C_1}{x^a}+ \dfrac{b}{x^a}\int\limits_0^x t^{a-1}dt+\dfrac{1}{x^a}\int\limits_0^x g(t)t^{a-1}dt\]
Или:
\[y=\dfrac{C_1}{x^a}+ \dfrac{b}{a}+\dfrac{1}{x^a}\int\limits_0^x g(t)t^{a-1}dt\]
Рассмотрим \(\lim\limits_{x\to 0}y(x) \):
\[\lim\limits_{x\to 0}y(x)= \dfrac{b}{a}+\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{C_1}{x^a}+\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{1}{x^a}\int\limits_0^x g(t)t^{a-1}dt\]
Для определения сходимости последнего предела воспользуемся правилом Лопиталя (дифференцируем числитель и знаменатель дроби):
\[\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{1}{x^a}\int\limits_0^x g(t)t^{a-1}dt=\lim\limits_{x\to 0}\frac{g(x)x^{a-1}}{ax^{a-1}}=\frac{1}{a}\lim\limits_{x\to 0}g(x)=0\]
Получаем:
\[\lim\limits_{x\to 0}y(x)= \dfrac{b}{a}+\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{C_1}{x^a}\]
Отсюда следует, что \(\lim\limits_{x\to 0}y(x)\) существует и ограничен только при \(C_1=0\) и равен \(\dfrac{b}{a}\).
Таким образом, только одно решение уравнения остается ограниченным при \(x\to 0\), и это решение имеет вид:
\[y=\dfrac{1}{x^a}\int\limits_0^x t^{a-1}f(t)dt\]
Предел этого решения при \(x\to 0\) равен \(\dfrac{b}{a}\).
Примечание: функция \(x^a\) при дробных значения \(a\) не определена при \(x\lt 0\).