Задача 166. Филиппов А.Ф. Сборник задач по дифференциальным уравнениям

С помощью замены переменных или дифференцирования привести уравнение к линейному и решить его:
$${\int }_0^x(x-t)y(t)\mathrm{d}t=2x+{\int }_0^{x}y(t)\mathrm{d}t.$$

Решение
Пусть $Y(x)$ - первообразная для $y(x)$, то есть $Y^{\prime }(x)=y(x)$, тогда:
$${\int }_0^{x}y(t)\mathrm{d}t=Y(x)-Y(0)$$
Соответственно, если мы продифференцируем это равенство по $x$, получим:
$${({\int }_0^{x}y(t)\mathrm{d}t)}^{\prime }=(Y(x)-Y(0){)}^{\prime }=Y^{\prime }(x)=y(x)$$

Теперь вернемся к уравнению. Рассмотрим левую часть уравнения:
$${\int }_0^x(x-t)y(t)dt=x{\int }_0^{x}y(t)dt-{\int }_0^{x}ty(t)dt=x{\int }_0^{x}y(t)dt-{\int }_0^{x}td(Y(t))$$

Для последнего интеграла воспользуемся формулой интегрирования по частям:
$${\int }_0^{x}td(Y(t))=tY(t){|}_0^x-{\int }_0^{x}Y(t)dt=xY(x)-{\int }_0^{x}Y(t)dt$$

Итак, получаем:
$${\int }_0^x(x-t)y(t)dt=x{\int }_0^{x}y(t)dt-xY(x)+{\int }_0^{x}Y(t)dt$$

Уравнение приняло вид:
$$x{\int }_0^{x}y(t)dt-xY(x)+{\int }_0^{x}Y(t)dt=2x+{\int }_0^{x}y(t)\mathrm{d}t.$$

Взяв производную по $x$ от обеих частей уравнения, получим:
$${\int }_0^{x}y(t)dt+xy(x)-Y(x)-xy(x)+Y(x)=2+y(x)$$
$${\int }_0^{x}y(t)dt=2+y(x)$$
Взяв производную по $x$ еще раз, получим:
$$y(x)=y^{\prime }(x)$$
Или:
$$y^{\prime }=y$$
Разделим переменные:
$$\frac{dy}{y}=dx$$
Переменные разделены. Интегрируем обе части уравнения:
$$\int \frac{dy}{y}=\int dx$$
$$\ln |y|=x+\ln C$$
$$y=C{e}^x$$
Таким образом, общее решение исходного уравнения:
$$y=C{e}^x$$
Подставив $x=0$ в уравнение ${\int }_0^{x}y(t)dt=2+y(x)$, получим начальное условие:
$$y(0)=-2$$
Подставив начальное условие в общее решение, получим $C=-2$.
Таким образом, решение исходного уравнения:
$$y=-2e^x.$$