Задача 160. Филиппов А.Ф. Сборник задач по дифференциальным уравнениям

Решить уравнение $(2x^{2}y\ln y-x)y^{\prime }=y$.

Решение
Уравнение не является линейным относительно переменной $y$ (и не может быть преобразовано к линейному виду относительно переменной $y$). Преобразуем уравнение, считая $x$ функцией от $y$.
$$(2x^{2}y\ln y-x)\frac{dy}{dx}=y$$
$$(2x^{2}y\ln y-x)=y\frac{dx}{dy}$$
$$\frac{dx}{dy}+\frac{x}{y}=2x^2\ln y$$
$$x^{\prime }+\frac{x}{y}=2x^2\ln y$$

Уравнение является уравнением Бернулли ($n=2$). Для решения уравнения Бернулли необходимо обе его части разделить на $x^n$ и сделать замену $1/x^{n-1}=z$.

Разделим уравнение на $x^2$:
$$\frac{x^{\prime }}{x^2}+\frac{1}{yx}=2\ln y$$
Произведем замену $z=1/x$:
Так как $z^{\prime }=-{\displaystyle \frac{1}{x^2}}{x}^{\prime }$, то:
$$x^{\prime }=-x^2{z}^{\prime }$$
Получаем:
$$-z^{\prime }+{\displaystyle \frac{z}{y}}=2\ln y$$
$$z^{\prime }-{\displaystyle \frac{z}{y}}=-2\ln y$$

Данное уравнение является линейным дифференциальным уравнением.
Найдем решение однородного уравнения:
$$z^{\prime }-{\displaystyle \frac{z}{y}}=0$$
Разделим переменные:
$$\frac{dz}{z}=\frac{dy}{y}$$
Переменные разделены. Интегрируем обе части уравнения:
$$\int \frac{dz}{z}=-\int \frac{dy}{y}$$
$$\ln |z|=\ln |y|+\ln C$$
$$z=Cy$$
Таким образом, решение однородного уравнения: $z=Cy$.

Считая постоянную $C$ функцией от $y$, подставим решение однородного уравнения в исходное уравнение.
Так как $z^{\prime }=C^{\prime }y+C$, то:
$$C^{\prime }y+C-{\displaystyle \frac{Cy}{y}}=-2\ln y$$
$$C^{\prime }y=-2\ln y$$
$$C^{\prime }=-2\frac{\ln y}{y}$$
$$C=-2\int \frac{\ln y}{y}dy=-2\int \ln yd(\ln y)=-{\ln }^{2}y+C_1$$
Подставим полученную функцию в решение однородного уравнения:
$$z=Cy=(-{\ln }^{2}y+C_1)y$$
Произведем обратную замену. Так как $z=1/x$:
$$\frac{1}{x}=(-{\ln }^{2}y+C_1)y$$
$$(C_1-{\ln }^{2}y)xy=1$$

Таким образом, решение исходного уравнения:
$$(C_1-{\ln }^{2}y)xy=1.$$