Решить уравнение \(xy^2y'=x^2+y^3\).
Решение
Преобразуем уравнение:
\[y'-\frac{y}{x}=xy^{-2}\]
Уравнение является уравнением Бернулли (\(n=-2\)). Для решения уравнения Бернулли необходимо обе его части разделить на \(y^n\) и сделать замену \(1/y^{n-1}=z\).
Разделим уравнение на \(y^{-2}\):
\[y'y^2-\frac{y^3}{x}=x\]
Произведем замену \(z=1/y^{-3}=y^3\):
Так как \(z'=3y^2y'\), то:
\[y'=\frac{1}{3y^2}z'\]
Получаем:
\[\frac{1}{3}z'-\frac{z}{x}=x\]
\[z'-3\frac{z}{x}=3x\]
Данное уравнение является линейным дифференциальным уравнением.
Найдем решение однородного уравнения:
\[z'-3\frac{z}{x}=0\]
Разделим переменные:
\[\frac{dz}{z}=3\frac{dx}{x}\]
Переменные разделены. Интегрируем обе части уравнения:
\[\int \frac{dz}{z}=3\int \frac{dx}{x}\]
\[\ln |z|=3\ln |x|+\ln C\]
\[z=Cx^3\]
Таким образом, решение однородного уравнения: \(z=Cx^3\).
Считая постоянную \(C\) функцией от \(x\), подставим решение однородного уравнения в исходное уравнение.
Так как \(z'=C'x^3+3Cx^2\), то:
\[C'x^3+3Cx^2-3\frac{Cx^3}{x}=3x\]
\[C'x^3=3x\]
\[C'=\frac{3}{x^2}\]
\[C=\int \frac{3}{x^2} dx=-\frac{3}{x}+C_1\]
Подставим полученную функцию в решение однородного уравнения:
\[z=Cx^3=\left(-\frac{3}{x}+C_1\right) x^3=C_1x^3-3x^2\]
Произведем обратную замену. Так как \(z=y^3\):
\[y^3=C_1x^3-3x^2\]
Таким образом, решение исходного уравнения:
\[y^3=C_1x^3-3x^2\]