Решить уравнение \(y'=y^4 \cos x+y \operatorname{tg} x\).
Решение
Преобразуем уравнение:
\[y'-y \operatorname{tg} x=y^4 \cos x\]
Уравнение является уравнением Бернулли (\(n=4\)). Для решения уравнения Бернулли необходимо обе его части разделить на \(y^n\) и сделать замену \(1/y^{n-1}=z\).
Разделим уравнение на \(y^4\):
\[\frac{y'}{y^4} -\frac{\operatorname{tg} x}{y^3}=\cos x\]
При делении могло быть потеряно решение \(y=0\). Очевидно, \(y=0\) является решением.
Произведем замену \(z=1/y^3\):
Так как \(z'=-\dfrac{3}{y^4}y'\), то:
\[y'=-\frac{1}{3}z'y^4\]
Получаем:
\[-\frac{1}{3}z'-z\operatorname{tg} x=\cos x\]
\[z'+3z\operatorname{tg} x=-3\cos x\]
Данное уравнение является линейным дифференциальным уравнением.
Найдем решение однородного уравнения:
\[z'+3z\operatorname{tg} x=0\]
Разделим переменные:
\[\frac{dz}{z}=-3\operatorname{tg} x \ dx\]
Переменные разделены. Интегрируем обе части уравнения:
\[\int \frac{dz}{z}=-3\int \operatorname{tg} x \ dx\]
Правый интеграл:
\[-3\int \operatorname{tg} x \ dx=-3\int \frac{\sin x}{\cos x} dx=3\int \frac{d(\cos x)}{\cos x}=3\ln|\cos x|+\ln C\]
Получаем:
\[\ln|z|=3\ln|\cos x|+\ln C\]
\[z=C\cos^3 x\]
Таким образом, решение однородного уравнения: \(z=C\cos^3 x\).
Считая постоянную \(C\) функцией от \(x\), подставим решение однородного уравнения в исходное уравнение.
Так как \(z'=C'\cos^3 x-3C\cos^2 x \sin x\), то:
\[C'\cos^3 x-3C\cos^2 x \sin x+3C\cos^3 x\operatorname{tg} x=-3\cos x\]
\[C'=-\frac{3}{\cos^2 x}\]
\[C=-\int\frac{3}{\cos^2 x}=-3\operatorname{tg} x+C_1\]
Подставим полученную функцию в решение однородного уравнения:
\[z=C\cos^3 x=\left(-3\operatorname{tg} x+C_1\right)\cos^3 x=C_1\cos^3 x-3\cos^2 x \sin x\]
Произведем обратную замену. Так как \(z=1/y^3\):
\[\frac{1}{y^3}=C_1\cos^3 x-3\cos^2x \sin x\]
Таким образом, решение исходного уравнения:
\[\frac{1}{y^3}=C_1\cos^3 x-3\cos^2x \sin x; \ y=0.\]