Решить уравнение \((1-2xy)y'=y(y-1)\).
Решение
Уравнение не является линейным относительно переменной \(y\), но оно линейно относительно \(x\). Преобразуем уравнение, считая \(x\) функцией от \(y\).
Учитывая что \(\dfrac{1}{y_x'}=x_y'\), получаем:
\[x'y(y-1)+2xy=1\]
При преобразовании уравнения могло быть потеряно решение \(y=0\). Очевидно, \(y=0\) является решением.
Найдем решение однородного уравнения:
\[x'y(y-1)+2xy=0\]
Разделим переменные:
\[x'y(y-1)=-2xy\]
\[\frac{dx}{x}=-2\frac{dy}{(y-1)}\]
Переменные разделены. Интегрируем обе части уравнения:
\[\int \frac{dx}{x}=-2\int \frac{dy}{(y-1)}\]
\[\ln |x|=-2\ln|y-1|+\ln C\]
\[x=C(y-1)^{-2}\]
При делении могло быть потеряно решение \(y-1=0\). Очевидно, \(y=1\) является решением.
Таким образом, решение однородного уравнения: \(x=C(y-1)^{-2}\).
Считая постоянную \(C\) функцией от \(y\), подставим решение однородного уравнения в исходное уравнение.
Так как \(x'=C' (y-1)^{-2}-2C(y-1)^{-3}\), то:
\[\left(C' (y-1)^{-2}-2C(y-1)^{-3}\right)y(y-1)+2C(y-1)^{-2}y=1\]
\[C' (y-1)^{-1}y=1\]
\[C'=\frac{(y-1)}{y}=1-\frac{1}{y}\]
\[C=y-\ln|y| +C_1\]
Подставим полученную функцию в решение однородного уравнения:
\[x=C(y-1)^{-2}=\left(y-\ln|y| +C_1\right) (y-1)^{-2}\]
Таким образом, решение исходного уравнения:
\[x=\left(y-\ln|y| +C_1\right) (y-1)^{-2}; \ y=0; \ y=1.\]