Задача 148. Филиппов А.Ф. Сборник задач по дифференциальным уравнениям

Решить уравнение $(2x+y)dy=ydx+4\ln ydy$.

Решение
Уравнение не является линейным относительно переменной $y$, но оно линейно относительно $x$. Преобразуем уравнение, считая $x$ функцией от $y$.
$$x^{\prime }y-2x=y-4\ln y$$
Найдем решение однородного уравнения:
$$x^{\prime }y-2x=0$$
Разделим переменные:
$$\frac{dx}{x}=2\frac{dy}{y}$$
Переменные разделены. Интегрируем обе части уравнения:
$$\int \frac{dx}{x}=2\int \frac{dy}{y}$$
Получаем:
$$\ln |x|=2\ln |y|+\ln C$$
$$x=C{y}^2$$
Таким образом, решение однородного уравнения: $x=C{y}^2$.

Считая постоянную $C$ функцией от $y$, подставим решение однородного уравнения в исходное уравнение.
Так как $x^{\prime }=C^{\prime }{y}^2+2Cy$, то:
$$(C^{\prime }{y}^2+2Cy)y-2C{y}^2=y-4\ln y$$
$$C^{\prime }{y}^3=y-4\ln y$$
$$C^{\prime }=y^{-2}-4y^{-3}\ln y$$
$$C=\int y^{-2}dy-4\int y^{-3}\ln ydy$$
Найдем второй интеграл воспользовавшись формулой интегрирования по частям:
$$\int y^{-3}\ln ydy=-\frac{1}{2}\int \ln yd(y^{-2})=$$

$$=-\frac{y^{-2}\ln y}{2}+\frac{1}{2}\int y^{-3}dy=-\frac{y^{-2}\ln y}{2}-\frac{y^{-2}}{4}+C_1$$
Получаем:
$$C=-y^{-1}+2y^{-2}\ln y+y^{-2}+C_1$$

Подставим полученную функцию в решение однородного уравнения:
$$x=C{y}^2=(-y^{-1}+2y^{-2}\ln y+y^{-2}+C_1)y^2=C_1{y}^2-y+2\ln y+1$$
Таким образом, решение исходного уравнения:
$$x=C_1{y}^2-y+2\ln y+1$$