Задача 146. Филиппов А.Ф. Сборник задач по дифференциальным уравнениям

Решить уравнение $(2e^y-x)y^{\prime }=1$.

Решение
Уравнение не является линейным относительно переменной $y$, но оно линейно относительно $x$. Преобразуем уравнение, считая $x$ функцией от $y$.
Учитывая что ${\displaystyle \frac{1}{y_x^{\prime }}}=x_y^{\prime }$, получаем:
$$x^{\prime }+x=2e^y$$
Найдем решение однородного уравнения:
$$x^{\prime }+x=0$$
Разделим переменные:
$$\frac{dx}{x}=-dy$$
Переменные разделены. Интегрируем обе части уравнения:
$$\int \frac{dx}{x}=-\int dy$$
$$\ln |x|=-y+\ln C$$
$$x=C{e}^{-y}$$
Таким образом, решение однородного уравнения: $x=C{e}^{-y}$.

Считая постоянную $C$ функцией от $y$, подставим решение однородного уравнения в исходное уравнение.
Так как $x^{\prime }=C^{\prime }{e}^{-y}-C{e}^{-y}$, то:
$$C^{\prime }{e}^{-y}-C{e}^{-y}+C{e}^{-y}=2e^y$$
$$C^{\prime }=2e^{2y}$$
$$C=e^{2y}+C_1$$

Подставим полученную функцию в решение однородного уравнения:
$$x=C{e}^{-y}=(e^{2y}+C_1)e^{-y}=e^y+C_1{e}^{-y}$$
Таким образом, решение исходного уравнения:
$$x=e^y+C_1{e}^{-y}.$$