Задача 144. Филиппов А.Ф. Сборник задач по дифференциальным уравнениям

Решить уравнение $x{y}^{\prime }+(x+1)y=3x^2{\mathrm{e}}^{-x}$.

Решение
Найдем решение однородного уравнения:
$$x{y}^{\prime }+(x+1)y=0$$
Разделим переменные:
$$\frac{dy}{y}=-\frac{x+1}{x}dx$$
Переменные разделены. Интегрируем обе части уравнения:
$$\int \frac{dy}{y}=-\int \frac{x+1}{x}dx$$
$$\ln |y|=-x-\ln |x|+\ln C$$
$$y=C\frac{e^{-x}}{x}$$
Таким образом, решение однородного уравнения: $y=C{\displaystyle \frac{e^{-x}}{x}}$.

Считая постоянную $C$ функцией от $x$, подставим решение однородного уравнения в исходное уравнение.
Так как $y^{\prime }=C^{\prime }{\displaystyle \frac{e^{-x}}{x}}+C{\displaystyle \frac{-x{e}^{-x}-e^{-x}}{x^2}}$, то:
$$x(C^{\prime }{\displaystyle \frac{e^{-x}}{x}}+C{\displaystyle \frac{-x{e}^{-x}-e^{-x}}{x^2}})+(x+1)C{\displaystyle \frac{e^{-x}}{x}}=3x^2{\mathrm{e}}^{-x}$$
$$C^{\prime }=3x^2$$
$$C=x^3+C_1$$

Подставим полученную функцию в решение однородного уравнения:
$$y=C{\displaystyle \frac{e^{-x}}{x}}=(x^3+C_1){\displaystyle \frac{e^{-x}}{x}}$$
Таким образом, решение исходного уравнения:
$$xy=(x^3+C_1)e^{-x}.$$