Решить уравнение \(2 x\left(x^{2}+y\right)\ dx=dy\).
Решение
Преобразуем уравнение:
\[y'-2xy=2 x^3\]
Найдем решение однородного уравнения:
\[y'-2xy=0\]
Разделим переменные:
\[\frac{dy}{y}=2x \ dx\]
Переменные разделены. Интегрируем обе части уравнения:
\[\int \frac{dy}{y}=\int 2x \ dx\]
\[\ln|y|=x^2+\ln C\]
\[y=Ce^{x^2}\]
Таким образом, решение однородного уравнения: \(y=Ce^{x^2}\).
Считая постоянную \(C\) функцией от \(x\), подставим решение однородного уравнения в исходное уравнение.
Так как \(y'=C'e^{x^2}+2Cxe^{x^2}\), то:
\[C'e^{x^2}+2Cxe^{x^2}-2xCe^{x^2}=2 x^3\]
\[C'=2x^3e^{-x^2}\]
\[C=\int 2x^3e^{-x^2} \ dx=\begin{bmatrix} u=-x^2 \\ du = -2x \ dx \\ \end{bmatrix}=\int ue^u \ du=\]
\[=ue^u-e^u+C_1=-x^2e^{-x^2}-e^{-x^2}+C_1=-e^{-x^2}(x^2+1)+C_1\]
Подставим полученную функцию в решение однородного уравнения:
\[y=Ce^{x^2}=(-e^{-x^2}(x^2+1)+C_1)e^{x^2}=C_1e^{x^2}-x^2-1\]
Таким образом, решение исходного уравнения:
\[y=C_1e^{x^2}-x^2-1\]