Задача 88. Филиппов А.Ф. Сборник задач по дифференциальным уравнениям

Парашютист прыгнул с высоты 1,5 км, а раскрыл парашют на высоте 0,5 км. Сколько времени он падал до раскрытия парашюта? Известно, что предельная скорость падения человека в воздухе нормальной плотности составляет Изменением плотности с высотой пренебречь. Сопротивление воздуха пропорционально квадрату скорости.

Решение
Пусть $v(t)$ скорость парашютиста в момент времени $t$. На парашютиста действуют две силы: сила тяжести $P=mg$ и сила сопротивления $F=-k{v}^2$ (поскольку по условию задачи сопротивление воздуха пропорционально квадрату скорости), где $m$ - масса парашютиста, $g=9,8м/{с}^2$ - ускорение свободного падения, $k$ - коэффициент пропорциональности.
Согласно второму закону Ньютона получаем дифференциальное уравнение:
$$m\frac{dv}{dt}=mg-k{v}^2.$$
Это уравнение является уравнением с разделяющимися переменными. Разделим переменные:
$$\frac{m}{mg-k{v}^2}dv=dt.$$
Переменные разделены. Интегрируем обе части уравнения:
$$\int \frac{m}{mg-k{v}^2}dv=\int dt$$
$$\frac{m}{k}\int \frac{1}{\frac{mg}{k}-v^2}dv=\int dt$$

Воспользуемся табличным интегралом:
$$\int \frac{dx}{a^2-x^2}=\frac{1}{2a}\ln \left|\frac{a+x}{a-x}\right|+C;a=\sqrt{\frac{mg}{k}}.$$

$$\frac{m}{k}\int \frac{1}{\frac{mg}{k}-v^2}dv=\frac{m}{2k}\sqrt{\frac{k}{mg}}\ln \left|\frac{\sqrt{\frac{mg}{k}}+v}{\sqrt{\frac{mg}{k}}-v}\right|+C$$
Получаем общее решение:
$$\frac{m}{2k}\sqrt{\frac{k}{mg}}\ln \left|\frac{\sqrt{\frac{mg}{k}}+v}{\sqrt{\frac{mg}{k}}-v}\right|=t+C$$
$$\frac{\sqrt{\frac{mg}{k}}+v}{\sqrt{\frac{mg}{k}}-v}=C_1{e}^{2\sqrt{\frac{kg}{m}}t}$$

Так как $v(0)=0$, то $C_1=1$.
Предельная скорость падения составляет 50 м/сек, а при предельной скорости ускорение $\frac{dv}{dt}$ равно нулю, соответственно из дифференциального уравнения получаем:
$$mg-{50}^{2}k=0\Rightarrow \frac{mg}{k}={50}^2\Rightarrow \sqrt{\frac{mg}{k}}=50$$
И так как $k=\frac{mg}{{50}^2}$, получаем:
$$2\sqrt{\frac{kg}{m}}=2\sqrt{\frac{g^2}{{50}^2}}=\frac{2g}{50}=\frac{2\cdot 9.8}{50}=0.392$$

Получаем, решение имеет вид:
$$\frac{50+v}{50-v}=e^{0,392\cdot t}$$
Выразим $v$:
$$50+v=(50-v)e^{0,392\cdot t}$$
$$v(1+e^{0,392\cdot t})=50(e^{0,392\cdot t}-1)$$
Таким образом, зависимость скорости от времени имеет вид:
$$v=50\frac{e^{0,392\cdot t}-1}{1+e^{0,392\cdot t}}=50\text{th}(0,196\cdot t)$$

Скорость является производной от расстояния, следовательно чтобы найти зависимость расстояния $s(t)$ от времени $t$, проинтегрируем скорость:
$$s=\int vdt=50\int \text{th}(0.196\cdot t)=\frac{50}{0,196}\ln \text{ch}(0,196\cdot t)+C$$
Так как $s(0)=0$, $C=0$.
Учитывая что расстояние которое пролетел парашютист: $s=1,5$ км - $0,5$ км $=1000$ м, найдем время:
$$1000=\frac{50}{0,196}\ln \text{ch}(0.196\cdot t)$$
$$\ln \text{ch}(0,196\cdot t)=3,92$$
$$\text{ch}(0,196\cdot t)=e^{3,92}\approx 50,4$$
$$0,196\cdot t=\ln (50,4+\sqrt{50,4+1}\sqrt{50,4-1})\approx 4.61$$
$$t\approx \frac{4.61}{0,196}\approx 23.54$$
Таким образом, время падения до раскрытия парашюта: 23.54 с.