Задача 83. Филиппов А.Ф. Сборник задач по дифференциальным уравнениям

Лодка замедляет свое движение под действием сопротивления воды, которое пропорционально скорости лодки. Начальная скорость лодки 1,5 м/сек, через 4 сек скорость ее 1 м/сек. Когда скорость уменьшится до 1 см/сек? Какой путь может пройти лодка до остановки?

Решение
Пусть $v(t)$ - скорость лодки в момент времени $t$. Тогда, согласно второму закону Ньютона:
$$m{v}^{\prime }=F$$
где $m$ - масса лодки, $F$ - сила сопротивления воды.
Так как скорость лодки пропорциональна сопротивлению воды, то $F=kv$. Получаем уравнение:
$$v^{\prime }=\frac{k}{m}v=k_{1}v.$$
Это уравнение является уравнением с разделяющимися переменными. Разделяя переменные и интегрируя получим общее решение:
$$v=C{e}^{k_{1}t}$$
Подставив начальные условия $v(0)=1,5$ и $v(4)=1$, получим:
$$C=1,5;k_1=\frac{1}{4}\ln (\frac{2}{3}).$$
Получаем, скорость движения лодки:
$$v=1,5e^{0,25\ln (2/3)t}$$

Подставляя $v=1см/сек=0,01м/сек$, получим время:
$$0,01=1,5e^{0,25\ln (2/3)t}$$
$$0,25\ln (2/3)t=\ln (0,01/1,5)$$
$$t=4\frac{\ln (0,01/1,5)}{\ln (2/3)}\approx 49.43$$
Таким образом, скорость уменьшится до 1 см/сек через 49.43 сек.

Так как скорость, это производная от пути, то есть $s^{\prime }(t)=v(t)$. Найдем $s(t)$:
$$s=\int 1,5e^{0,25\ln (2/3)t}=\frac{1,5}{0,25\ln (2/3)}{e}^{0,25\ln (2/3)t}+C$$
Так как $s(0)=0$, то получаем:
$$C=-\frac{1,5}{0,25\ln (2/3)}\Rightarrow s=\frac{1,5}{0,25\ln (2/3)}(e^{0,25\ln (2/3)t}-1)$$
Так как $v(t)=0$ при $t\to \mathrm{\infty }$, то путь который лодка пройдет до остановки равен:
$$\underset{t\to \mathrm{\infty }}{lim}s(t)=-\frac{1,5}{0,25\ln (2/3)}\approx 14.8$$
Таким образом, путь который лодка пройдет до остановки: 14.8 м.